Área

Este artículo trata sobre el concepto geométrico. Para otros usos de este término, véase Área (desambiguación).

El área es una medida de extensión de una superficie, expresada en unidades de medida denominadas unidades de superficie. El área es un concepto métrico que requiere que el espacio donde se define se haya definido una medida.

Para superficies planas, el concepto es más intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos, por ejemplo un polígono, puede triangularse y se puede calcular su área como suma de las áreas de dichos triángulos. Ocasionalmente se usa el término "área" como sinónimo de superficie, cuando no existe confusión entre el concepto geométrico en sí mismo (superficie) y la magnitud métrica asociada al concepto geométrico (área).

Sin embargo, para calcular el área de superficies curvas se requiere introducir métodos de geometría diferencial.

Para poder definir el área de una superficie en general –que es un concepto métrico–, se tiene que haber definido un tensor métrico sobre la superficie en cuestión: cuando la superficie está dentro de un espacio euclídeo, la superficie hereda una estructura métrica natural inducida por la métrica euclidiana.

Historia

La idea de que el área es la medida que proporciona el tamaño de la región encerrada en una figura geométrica proviene de la antigüedad. En el Antiguo Egipto, tras la crecida anual de río Nilo inundando los campos, surge la necesidad de calcular el área de cada parcela agrícola para restablecer sus límites; para solventar eso, los egipcios inventaron la geometría, según Heródoto.¹

El modo de calcular el área de un polígono como la suma de las áreas de los triángulos, es un método que fue propuesto por primera vez por el sabio griego Antifón hacia el año 430 a. C. Hallar el área de una figura curva entraña más dificultad. El método de agotamiento consiste en inscribir y circunscribir polígonos en la figura geométrica, aumentar el número de lados de dichos polígonos y hallar el área buscada. Con el sistema que se conoce como método exhaustivo de Eudoxo, consiguió obtener una aproximación para calcular el área de un círculo. Dicho sistema fue empleado tiempo después por Arquímedes para resolver otros problemas similares,² así como el cálculo aproximado del número π.

Área de figuras planas[editar]

Artículo principal: Figura geométrica

Área de un triángulo

El área de un triángulo es igual al semiproducto entre la longitud de una base y la altura relativa a esta:³

$A=\frac{b\cdot h}{2}$

donde b es la base del triángulo y h es la altura correspondiente a la base. (se puede considerar cualquier lado como base)

Si el triángulo es rectángulo, la altura coincide con uno de los catetos, con lo cual el área es igual al semiproducto de los catetos:

A=\frac{a\cdot b}{2}

donde a y b son los catetos.

Si se conoce la longitud de sus lados, se puede aplicar la fórmula de Herón.

A= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

donde a, b, c son los valores de las longitudes de sus lados, s = ½ (a + b + c) es el semiperimetro del triángulo.

Si el triángulo es equilátero, el área es igual a un cuarto del cuadrado de un lado por la raíz cuadrada de 3:

A=\frac{\sqrt{3}\cdot a^2}{4}

donde a es un lado del triángulo.

Área de un cuadrilátero

El área del trapezoide o de cualquier cuadrilátero es igual al semiproducto de sus diagonales por el seno del ángulo que forman.

$A= \frac {\overline{AC} \cdot \overline{BD} \cdot \sin \theta}{2}$

El área también se puede obtener mediante triangulación:

$A= \frac {a \cdot d \cdot \sin \alpha + b \cdot c \cdot \sin \gamma}{2}$

Siendo:

\alpha\,

el ángulo comprendido entre los lados

a\,

d\,

\gamma\,

el ángulo comprendido entre los lados

b\,

c\,

El rectángulo es un paralelogramo cuyos ángulos son todos de 90º, y el área es igual al producto de dos de sus lados contiguos a y b:³

$A = {a \cdot b \,}$

El rombo es un paralelogramo, cuyos 4 lados son iguales, y tiene su área dada por el semiproducto de sus dos diagonales:

$A = \frac{\overline{AC} \cdot \overline{BD}}{2}$

El cuadrado es el polígono regular de cuatro lados; es a la vez un rectángulo y un rombo, por lo que su área puede ser calculada de la misma manera que la de estos dos. En particular, dado que sus lados son iguales, se usa la fórmula:³

$A= a \cdot a \, = a^2$

El romboide tiene su área dada por el producto de uno de sus lados y su altura respectiva:³

$A= b\cdot h\,$

El trapecio, el cual tiene dos lados opuestos paralelos entre sí y dos lados no paralelos, tiene un área que viene dada por la media aritmética de sus lados paralelos multiplicado por la distancia entre ellos (altura):³

$A = \frac{a + b}{2} \cdot h$

Área del círculo y la elipse[editar]

El área de un círculo, o la delimitada por una circunferencia, se calcula mediante la siguiente expresión matemática:⁴

$A = \pi r^2\,$ El área delimitada por una elipse es similar y se obtiene como producto del semieje mayor por el semieje menor multiplicados por π:⁵

$A = {\ \pi a b}$

Área delimitada entre dos funciones[editar]

Una forma para hallar el área delimitada entre dos funciones, es utilizando el cálculo integral:

$\acute{A} (a,b) = \int^b_a | f(x) - g(x) | dx$

El resultado de esta integral es el área comprendida entre las curvas:

f(x)\,

g(x) [< f(x)]\,

en el intervalo

[a,b]\,

Ejemplo

Si se quiere hallar el área delimitada entre el eje x y la función

f(x) = 4 - x^2

en el intervalo

[-2;2]

, se utiliza la ecuación anterior, en este caso:

g(x)=0

entonces evaluando la integral, se obtiene:

$\begin{array}{rl} A(-2,2) & = \int^2_{-2} | 4 - x^2 - 0 | dx = 2 \int^2_0 4 - x^2 dx = \\ & = 2\left[4x - \cfrac{x^3}{3} \right]_0^2 = 2 \left[ 8 - \left(\cfrac{2^3 - 0}{3}\right) \right] = \cfrac{32}{3} \end{array}$

Por lo que se concluye que el área delimitada es

32/3

El volumen encerrado entre dos funciones también puede ser reducido al cálculo de una integral, similar.

Relación área-perímetro

Dada una curva simple cerrada en el plano euclídeo puede probarse que su longitud o perímetro del área encerrada y la propia área encerrada satisfacen la relación:

$\frac{A}{L^2} \le \frac{1}{4\pi}$

La igualdad se alcanza sólo para un círculo el resto de figuras y formas posibles cumplen la desigualdad estricta.

Área de superficies curvas

El área de una superficie curva es más complejo y en general supone realizar algún tipo de idealización o límite para medirlo.

Cuando la superficie es desarrollable, como sucede con el área lateral de un cilindro o de un cono el área de la superficie puede calcularse a partir del área desarrollada que siempre es una figura plana. Unacondición matemática necesaria para que una superficie sea desarrollable es que su curvatura gaussiana sea nula.
Cuando la superficie no es desarrollable, el cálculo de la superficie o la fórmula analítica para encontrar dicho valor es más trabajoso. Un ejemplo de superficie no desarrollable es la esfera ya que su curvatura gaussiana coincide con el inverso de su radio al cuadrado, y por tanto no es cero. Sin embargo la esfera es una superficie de revolución.

Superficie de revolución

Cuando una superficie curva puede ser generada haciendo girar un curva plana o generatriz alrededor de un eje directriz, la superficie resultante se llama superficie de revolución y su área puede ser calculada fácilmente a partir de la longitud de la curva generatriz que al girar conforma la superficie. Si y=f(x) es la ecuación que define un tramo de curva, al girar esta curva alrededor del eje X se genera una superficie de revolución cuya área lateral vale:

$A_r(a,b) = 2\pi \int_a^b f(x)\sqrt{1+\left(\frac{df(x)}{dx}\right)^2}\ \mathrm{d}x$

Ejemplos particulares de superficies de revolución son:

El área de esfera de radio R que viene dada por $4\pi R^2\,$
El área de un cono de radio R y de altura h viene dada por $\pi R h\sqrt{1+R^2/h^2}$
El área lateral de un cilindro de radio R y altura h es simplemente $2\pi Rh\,$

Cálculo general de áreas[editar]

Mediante la geometría diferencial de superficies o más generalmente la geometría riemanniana puede calcularse el área de cualquier superficie curva finita. Si la superficie viene dada por la función explícita z = f(x, y) entonces, dada una región Ω contenida en una superficie su área resultar ser:

$A(\Omega) = \iint_\Omega \sqrt{1+ \left(\frac{\partial f}{\partial x} \right )^2+ \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right )^2} \mathrm{d}x\mathrm{d}y$

De manera un poco más general si conocemos la ecuación paramétrica de la superficie en función de dos coordenadas cualesquiera u y v entonces el área anterior puede escribirse como:

$A(\Omega) = \iint_\Omega \sqrt{EG-F^2}\ \mathrm{d}u\mathrm{d}v$

Donde E, F y G son las componentes del tensor métrico o primera forma fundamental de la superficie en las coordenadas paramétricas u y v.

En una variedad de Riemann de dimensión n > 1 puede definirse el área de ciertas subvariedades cuya dimensión sea 2. Para ello se define un conjunto de dos coordenadas (u, v) que parametricen la subvariedad y se construye un atlas para subvariedad, entonces el área es la integral de una 2-forma sobre dicha variedad. Esta definición coincidiría con la definición de áreas dada a partir de la primera forma fundamental.

Webgrafìa:http://es.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Portada

volumen

El volumen ¹ es una magnitud escalar² definida como la extensión en tres dimensiones de una región del espacio. Es una magnitud derivada de la longitud, ya que se halla multiplicando la longitud, el ancho y la altura. Desde un punto de vista físico, los cuerpos materiales ocupan un volumen por el hecho de ser extensos, fenómeno que se debe al principio de exclusión de Pauli.

La capacidad y el volumen son términos equivalentes, pero no iguales. Se define la capacidad de un recipiente como la "propiedad de un cuerpo de contener otros dentro de ciertos límites".³ La capacidad se refiere al volumen de espacio vacío de algun cuerpo que es suficiente para contener a otro u otros cuerpos. Matemáticamente el volumen es definible no sólo en cualquier espacio euclídeo, sino también en otro tipo de espacios métricos que incluyen por ejemplo a las variedades de Riemann.

La unidad de medida de volumen en el Sistema Internacional de Unidades es el metro cúbico. Para medir la capacidad se utiliza el litro. Por razones históricas, existen unidades separadas para ambas, sin embargo están relacionadas por la equivalencia entre el litro y el decímetro cúbico:

1 dm³ = 1 litro = 0,001 m³ = 1000 cm³.

Unidades de volumen

Existen multitud de unidades de volumen, que se utilizan dependiendo del contexto o de la finalidad de la medición. En los ámbitos académicos o técnicos se suelen emplear el metro y sus derivados. Para expresar el volumen de sustancias líquidas o gaseosas, e incluso para mercancías a granel, se suele recurrir a la capacidad del recipiente que lo contiene, medida en litros y sus derivados. En ocasiones, cuando la densidaddel material es constante y conocida, se pueden expresar las cantidades por su equivalente en peso en lugar de en volumen.

Muchas de las unidades de volumen existentes se han empleado históricamente para el comercio de mercancías o para el uso diario. Aún compartiendo el mismo nombre, muchas unidades varían significativamente de una región a otra.⁴

Sistema Internacional[editar]

En el sistema internacional de unidades la unidad de volumen es el metro cúbico.⁵ Algunos de los múltiplos y submúltiplos usuales del metro cúbico son los siguientes:

Múltiplos	Submúltiplos
Kilómetro cúbico = 10⁹ m³ Hectómetro cúbico = 10⁶ m³ Decámetro cúbico = 10³ m³	Decímetro cúbico = 10^-3 m³ Centímetro cúbico = 10^-6 m³ Milímetro cúbico = 10^-9 m³

La unidad más utilizada para medir el volumen de líquidos o recipientes, es el litro. El litro está admitido en el S.I. aunque estrictamente no forma parte de él.⁶

Sistema anglosajón de medidas[editar]

Las unidades de volumen en el Sistema anglosajón de unidades se derivan de las respectivas unidades de longitud, como la pulgada cúbica, el pie cúbico, la yarda cúbica, el acre-pie o la milla cúbica. Para medir el volumen de líquidos, las unidades de capacidad más extendidas son el barril, el galón y la pinta, y en menor medida la onza líquida, el cuarto, el gill, el minim o el escrúpulo líquido.⁷

Otras unidades[editar]

A lo largo de la historia, se han utilizado diferentes unidades de volumen que varían de una cultura a otra. En general, en casi todas ellas existían dos tipos de medida de volumen: para líquidos y para sólidos. Incluso el Sistema métrico decimal original las definió como unidades diferentes: el litro (igual a 1 dm³) para líquidos y el estéreo (igual a 1 m³) para sólidos.

En la Grecia Antigua se utilizaban el dracma líquido o la metreta. En la antigua Roma se utilizaban medidas como el ánfora, el sextario o la hemina. En el antiguo Egipto la medida más utilizada era el heqat. EnCastilla,⁴ se usaban unidades tradicionales como la arroba, la cántara, el celemín o la fanega, algunas de las cuales permanecen en uso hoy en día.

En el ámbito culinario, es habitual utilizar medidas de volumen dependientes de los distintos recipientes de uso frecuente, pero sin una definición precisa, como la cucharada, la cucharadita o la taza.

En medicina y en enfermería el volumen de una gota está definido con un diámetro estandarizado (1 mililitro son aproximadamente 20 gotas).

Volumen de figuras simples[editar]

La siguiente tabla muestra la expresión matemática que relaciona el volumen con las dimensiones de figuras geométricas comunes:

Fórmulas comunes para el volumen:
Figura.	Fórmula.	Variables.
Ortoedro:	$l \cdot w \cdot h$	l = largo, w = ancho, h = altura
cubo:	$l^3 = l \cdot l \cdot l$	l = longitud del lado
Cilindro (prisma circular):	$\pi r^2 \cdot h$	r = radio de la cara circular, h = distancia entre caras
Cualquier Prisma que tiene una sección transversal constante en toda su altura:	$A \cdot h$	A = área de la base, h = altura
Esfera:	$\frac{4}{3} \pi r^3$	r = radio de la esfera que es la primera integral de la fórmula para el área superficial de una esfera
Elipsoide:	$\frac{4}{3} \pi abc$	a, b, c = semiejes del elipsoide
Pirámide:	$\frac{1}{3} A h$	A = área de la base h = altura de la base al vértice superior
Cono (pirámide de base circular):	$\frac{1}{3} \pi r^2 h$	r = radio del círculo de la base, h = distancia de la base al tope

El volumen de un paralelepípedo es el valor absoluto del triple producto escalar de los vectores correspondientes a tres aristas concurrentes, y es equivalente al valor absoluto del determinante de la matriz que forman los tres vectores.

Definición matemática[editar]

Matemáticamente, el volumen de una región del espacio euclídeo es la cantidad de espacio tridimensional obtenida por triple integración del elemento diferencial de volumen extendida a dicho dominio. Así el volumen de un cuerpo o región tridiomensional

R \subset \R^3

viene dado por:

$\mathrm{Vol}(R) = \int_R \mathrm{d}V = \int_R \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z = \int_{\R^3} \chi_R(x,y,z) \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$

donde

\chi_R

es la función característica de la región R:

$\chi_R(x,y,z) = \begin{cases} 1& (x,y,z)\in R\\ 0& (x,y,z)\notin R \end{cases}$

Dicha noción se puede generalizar a espacios de dimensiones superiores (véase hipervolumen).

En otras geometrías, se deben considerar los efectos locales de la métrica, expresados mediante el tensor métrico, sobre el elemento diferencial de volumen. Dada una subvariedad de Riemann (con clausura compacta) M de dimensión 3 su volumen, viene dado por la integración de la una 3-forma

\eta

$\mathrm{Vol}(M) = \int_M \eta, \qquad \eta = \eta_{ijk} \mathrm{d}x^i \land \mathrm{d}x^j \land \mathrm{d}x^k$

Webgrafia : http://es.wikipedia.org/wiki/Volumen

Curiosidades de las construcciones

viernes, 29 de mayo de 2015

Área

Historia